Så här hittar du konvergensintervallet
Så här hittar du konvergensintervallet
Effektserien är ett speciellt fall av en funktionellserier vars termer är kraftfunktioner. Deras breda fördelning beror på det faktum att när ett antal villkor är uppfyllda, konvergerar de till givna funktioner och är det mest praktiska analysverktyget för deras presentation.
instruktion
1
Kraftserien är ett speciellt fallfunktionell serie. Den har formen 0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + ... + cn (z-z0) ^ n + .... (1) Om vi gör substitutet x = z-z0, tar denna serie formen c0 + c1x + c2x ^ 2 + ... + cn (x ^ n) + .... (2)
2
I detta fall är serier av formen (2) mer lämpliga för överväganden. Det är uppenbart att en maktserie konvergerar för x = 0. Den uppsättning punkter där serien är konvergent (domän konvergens) kan hittas på grundval av Abels teori. Det följer att om serien (2) är konvergerad vid en punkt x0 ≠ 0, konvergerar den för alla x som uppfyller ojämlikheten | x |
3
På motsvarande sätt, om någon gång x1 serietdivergerar, så observeras detta för alla x för vilka | x1 |> | b |. Figur 1, där x1 och x0 är valda för att vara stora, låter oss förstå att alla x1> x0. Därför kommer situationen x0 = x1 oundvikligen när de närmar sig varandra. I det här fallet förändras situationen med konvergens plötsligt när den passerar genom de sammanslagna punkterna (låt oss kalla dem -R och R). Eftersom R är geometrisk i längden kallas numret R≥0 konvergensraden för kraftserien (2). intervall (-R, R) kallas konvergensintervallet i kraftserien. Det är möjligt och R = + ∞. För x = ± R blir serien numerisk och dess analys utförs på grundval av information om numeriska serier.
4
För att bestämma R undersöks serien för absolutkonvergens. Det vill säga, en serie absoluta värden av villkoren i den ursprungliga serien sammanställs. Studier kan utföras på grundval av tecknen på d'Alembert och Cauchy. När man tillämpar dem finns gränser som jämförs med enhet. Därför uppnås gränsen lika med enhet vid x = R. När man löser på grundval av d'Alembert, är gränsen som visas i Fig. 2a. Det positiva talet x vid vilket denna gräns är lika med en kommer att vara radie R (se fig 2b). I studien av serien med det radikala Cauchy-kriteriet tar formeln för beräkning R formen (se fig 2c).
5
Formlerna som visas i fig. 2 tillämpas förutsatt att gränserna ifråga föreligger. För en potens av (1) konvergensintervallet registreras såsom (z0-R, z0 + R).
