Tips 1: Hur man hittar extremum
Tips 1: Hur man hittar extremum
Extremes representerar maximi- och minimivärdena för funktionen och relaterar till dess viktigaste egenskaper. Extremes är vid kritiska funktioner. Dessutom ändrar funktionen vid extremum av minsta och maximala riktning enligt tecknet. Enligt definitionen är det första derivatet av funktionen vid extremumpunkten noll eller frånvarande. Sålunda består sökningen av extrema av en funktion av två problem: att hitta derivatet för en given funktion och bestämma rötterna i dess ekvation.
instruktion
1
Skriv ner den givna funktionen f (x). Bestäm dess första derivat f '(x). Ekvata det resulterande derivatuttrycket till noll.
2
Lös ekvationen. Rötterna i ekvationen kommer att vara de kritiska punkterna i funktionen.
3
Bestäm vilka kritiska punkter -minimum eller maximalt - rötterna erhålls. För att göra detta, hitta det andra derivatet f '' (x) från den ursprungliga funktionen. Ersätt i värdena för de kritiska punkterna och beräkna uttrycket. Om det andra derivatet av funktionen vid den kritiska punkten är större än noll, blir detta den lägsta punkten. Annars är den maximala punkten.
4
Beräkna värdet på den ursprungliga funktionen i den erhållnapoäng av minimum och max. För att göra detta, ersätt deras värden till funktionens uttryck och beräkna. Det resulterande numret bestämmer funktionens extremum. Och om den kritiska punkten var högst, kommer funktionens extremum också att vara maximalt. Även vid minsta kritiska punkt kommer funktionen att nå sitt minsta extremum.
Tips 2: Hur man hittar extremum i en funktion av två variabler
Per definition kallas punkten M0 (x0, y0) punkten för det lokala maximala (minimala) funktioner två variabler z = f (x, y) om f (x, y) f (x0, y0) håller i någon del av punkten U (x0, y0) för vilken punkt M (x, y)). Dessa poäng heter ytterligheter funktioner. I texten betecknas partiella derivat enligt fig. 1.
instruktion
1
2
Obs. Privata derivat funktioner z = f (x, y) kan inte existera vid punktenextremum, därför är punkter i en möjlig extremum inte bara stationära punkter utan också punkter på vilka partiella derivat inte existerar (de motsvarar ytan - grafen funktioner).
3
4
Då: a) Om Q> 0 har funktionen en extremum vid punkten (x0, y0), och för f '' (x0, y0) 0) är ett lokalt minimum; b) om Q
5
Att hitta extremum funktioner två variabler Vi kan föreslå följande schema: För det första finns det stationära punkter funktioner. Då vid dessa punkter tillräckligtextremtillstånd Om funktionen inte har några partiella derivat vid vissa punkter, då kan det också finnas en extremum vid dessa punkter, men tillräckliga villkor kommer inte längre att vara tillämpliga.
6
7
8
Eftersom Q (0, 0) O därför vid punkten (1/3,1/3) finns en extremum. Med tanke på att den andra derivatan (med xx) In (1/3, 1/3) är större än noll, måste du fatta ett beslut som denna punkt är ett minimum.
Tips 3: Så här hittar du det största minsta värdet för en funktion
Enastående tysk matematiker Karl Weierstrassvisat att för varje kontinuerlig funktion på ett segment finns det största och minsta värdet på detta intervall. Problemet med att bestämma maximi- och minimivärden för funktionen i stor utsträckning i nationalekonomi värde, matematik, fysik och andra vetenskaper.
Du behöver
- rent papper;
- penna eller penna
- lärobok om högre matematik.
instruktion
1
Låt funktionen f (x) vara kontinuerlig och definierad med ett givet intervall [a; b] och har några (ändliga) antal kritiska punkter på den. Först och främst finner vi derivaten av funktionen f "(x) med avseende på x.
2
Ekvivalera funktionens derivat till noll för att bestämma funktionens kritiska punkter. Glöm inte att bestämma punkterna där derivatet inte existerar - de är också kritiska.
3
Från de uppsatta kritiska punkterna, väljer vi de som hör till intervallet [a; b]. Vi beräknar värdena för funktionen f (x) vid dessa punkter och i slutet av segmentet.
4
Från de inställda värdena för funktionen väljer vi maximi- och minimivärdena. Detta är de nödvändiga största och minsta värdena för funktionen på intervallet.
Tips 4: Hur man hittar intervall av monotonicitet och extremum
Studien av beteendet hos en funktion som har ett komplexBeroendet av argumentet utförs med hjälp av ett derivat. På grund av förändringen i derivatet kan man hitta kritiska punkter och områden med tillväxt eller minskning av funktionen.
instruktion
1
På olika delar av det numeriska planet, funktionenbeter sig annorlunda När y-axeln skär funktionen ändras funktionen genom att passera genom nollvärdet. Den monotona uppgången kan ersättas med en minskning av funktionens passage genom kritiska punkter-extremum. Hitta extremum av funktionen, skärningspunkt med koordinataxlar, områden med monotont beteende - alla dessa problem löses i analysen av derivatets beteende.
2
Före studier av funktionens beteende Y =F (x) beräkna räckvidden av giltiga värden för argumentet. Ta endast hänsyn till de värdena för den oberoende variabeln "x", vid vilken förekomsten av funktionen Y är möjlig.
3
Kontrollera om den givna funktionen ärdifferentierbar på det ansedda intervallet av den numeriska axeln. Hitta det första derivatet av den givna funktionen Y "= F" (x). Om F "(x)> 0 för alla värden av argumentet ökar funktionen Y = F (x) i detta intervall.) Den omvända påståendet är också sant: om i intervallet Fn (x) <0, minskar funktionen monotoniskt i detta avsnitt.
4
För att hitta extrema, lösa ekvationF "(x) = 0. Bestäm värdet av argumentet Xo, varvid den första derivatan är noll. Om funktionen F (x) föreligger vid ett värde x = h₀ och lika Yq = F (Xq), är den resulterande punkten en extremum.
5
För att bestämma är extremum funnen(x) av den ursprungliga funktionen Hitta värdet för det andra derivatet vid punkten x 0. Om F "(xq)> 0, är xq en lägsta punkt. Om F "(xq) <0, är xq en maximal punkt för funktionen.
